Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. 

Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. 

Indica-se: m.m.c (4 e 6) = 12

Agora vamos achar os múltiplos comuns de 40 e 60. 

Múltiplos de 40: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400... 

Múltiplo de 60: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480... 

Os múltiplos comuns de 40 e 60 são: 0, 120, 360... 

O número 120 é o menor ou mínimo múltiplo comum dos números naturais 40 e 60. 

Indica-se: m.m.c (40 e 60) = 120. 
Existem outras duas maneiras de calcular o m.m.c de dois ou mais números naturais: 

Vamos começar determinando o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números 20 e 40. 

1º) Primeiramente, vamos decompor cada um dos números em fatores primos: 

Agora, consideramos todos os fatores na forma fatorada, cada um deles com seu maior expoente. 

Neste caso esses fatores são 2³ x 5
 
O produto dos fatores encontrados será o m.m.c procurado, ou seja: 

m.m.c (20, 40) = 2³ x 5 = 40 

2º) A outra maneira de calcular o m.m.c é fazendo uma decomposição simultânea, em fatores primos, considerando os mesmos números 20 e 40. 

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra o exemplo abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. 

conteúdo extraído

Máximo Divisor Comum (m.d.c)

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. 

Usamos a abreviação m.m.c

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. 

Por exemplo: 

Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 

Os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18. 

Os divisores comuns de 12 e 18 são: 1,2,3 e 6.
 
Dentre eles, 6 é o maior. 
Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. Agora veja as multiplicações com os números 20, 30 e 40. 



Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5 10, 20. 

Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 

Os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 

Os divisores comuns de 20, 30, 40 são: 1, 2, 5, 10. 

Dentre eles 10 é o maior. 

Então chamamos o 10 de máximo divisor comum de 20, 30 e 40. 
Indicamos m.d.c.(20, 30, 40) = 10.

Conteúdo extraído.

Fatorando um número

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 
Para obter a forma fatorada de um número natural através da decomposição, em fatores primos, temos que fazer o seguinte: 

Dado o número 32: 

Dividimos o número 32 pelo seu menor divisor primo. 

Logo, dividimos o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 

E assim por diante até chegar ao quociente 1. 

Veja: 
32:2 = 16
16:2 = 8
8:2 = 4
4:2 = 2
2:2 = 1

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25→  forma fatorada   Todos os fatores são primos. 
Exemplo:
As medidas de uma piscina em metros são dados por números primos. Nessa piscina cabem 70 metros cúbicos. Quais são essas medidas? 
Resolução: 
Devemos escrever 70 na forma fatorada 

70= 2 x 5 x 7 (forma fatorada) 

Todos os fatores são primos. 

Logo a medida da piscina é 2metros por 5 metros por 7 metros.

Conteúdo extraído.